➕ 행렬의 덧셈과 뺄셈, 실수배 – 기초부터 확실히!

지난 시간에는 행렬이 무엇인지, 그리고 행과 열의 수, 성분 등을 배워봤죠?

이번에는 행렬끼리 더하거나 빼는 법, 그리고 실수(숫자)를 곱하는 방법을 배워볼 거예요.

이제 본격적으로 행렬을 가지고 계산을 해볼 시간입니다 😊

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1️⃣ 행렬의 덧셈 (Addition of Matrices)

먼저, 행렬을 더할 때는 두 행렬이 같은 크기여야 합니다.

즉, 행과 열의 수가 같아야 한다는 뜻이에요.

이를 수학적으로는 “두 행렬이 같은 꼴일 때”라고 표현합니다.

📘 정의

행렬 $A$와 $B$가 같은 꼴일 때,

각 위치의 성분을 더해서 새로운 행렬을 만들 수 있습니다.

이것을 행렬 $A$와 $B$의 합이라고 하고, 기호로는 이렇게 씁니다:

$$A + B = (a_{ij} + b_{ij})$$

🔍 예시

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

 

$$A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 3+1 \\ 2+0 & 4+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

→ 같은 위치끼리 더하면 OK! 계산도 쉽고 재미있죠?

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2️⃣ 행렬의 뺄셈 (Subtraction of Matrices)

덧셈과 마찬가지로, 뺄셈도 같은 크기의 행렬끼리만 가능합니다.

📘 정의

행렬 $A$와 $B$가 같은 꼴일 때,

각 위치의 성분끼리 빼서 만든 행렬을 $A$ 와$B$의 차라고 하고, 기호로는 이렇게 씁니다:

$$A – B = (a_{ij} – b_{ij})$$

🔍 예시

위와 같은 행렬 A, B에 대해:

$$A – B = \begin{bmatrix} 1-5 & 3-1 \\ 2-0 & 4-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$$

→ 역시 대응되는 위치끼리 뺍니다.

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3️⃣ 행렬의 덧셈 · 뺄셈의 연산 법칙

실수의 덧셈과 마찬가지로, 행렬의 덧셈에도 교환법칙과 결합법칙이 성립합니다.

하지만 뺄셈은 다릅니다. 뺄셈에서는 두 법칙 모두 성립하지 않아요.

왜 그런지 예시를 통해 차근차근 확인해볼게요.

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🔁 교환법칙 (Commutative Law)

$$A + B = B + A$$

→ 순서를 바꾸어도 결과는 같습니다.

✅ 덧셈에서는 성립합니다.

예를 들어,

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

 

$$A + B = \begin{bmatrix} 1 + 5 & 2 + 6 \\ 3 + 7 & 4 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

 

$$B + A = \begin{bmatrix} 5 + 1 & 6 + 2 \\ 7 + 3 & 8 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

→ 결과가 같기 때문에, 덧셈에서는 교환법칙이 성립합니다.

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❌ 뺄셈에서는 성립하지 않습니다.

$$A-B\mathrm{\ne }B-A$$

위와 같은 $A, B$에 대해:

$$A – B = \begin{bmatrix} 1 – 5 & 2 – 6 \\ 3 – 7 & 4 – 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix}$$

 

$$B – A = \begin{bmatrix} 5 – 1 & 6 – 2 \\ 7 – 3 & 8 – 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$$

→ 결과가 완전히 다르죠?

뺄셈은 순서를 바꾸면 값이 달라지기 때문에, 교환법칙이 성립하지 않습니다.

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🔄 결합법칙 (Associative Law)

$$(A + B) + C = A + (B + C)$$

→ 어떤 것을 먼저 더하든 결과는 같다는 법칙입니다.

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✅ 덧셈에서는 결합법칙이 성립합니다.

예를 들어,

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$$

 

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먼저 왼쪽부터 계산해볼게요:

$$(A + B) = \begin{bmatrix} 1 + 5 & 2 + 6 \\ 3 + 7 & 4 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

 

$$(A+B)+C=\left[\begin{array}{cc}6+1& 8+1\\ 10+1& 12+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7& 9\\ 11& 13\end{array}\right]$$

 

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이번엔 오른쪽을 계산해볼게요:

$$(B + C) = \begin{bmatrix} 5 + 1 & 6 + 1 \\ 7 + 1 & 8 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}$$

 

$$A+(B+C)=\left[\begin{array}{cc}1+6& 2+7\\ 3+8& 4+9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7& 9\\ 11& 13\end{array}\right]$$

 

→ 양쪽 계산 결과가 같기 때문에, 행렬의 덧셈에서는 결합법칙이 성립합니다!

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❌ 뺄셈에서는 결합법칙이 성립하지 않습니다

$$(A-B)-C\mathrm{\ne }A-(B-C)$$

예를 들어,

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$$

먼저 왼쪽 식인 $(A – B) – C$를 계산해볼게요:

$$A – B = \begin{bmatrix} 1 – 5 & 2 – 6 \\ 3 – 7 & 4 – 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix}$$

$$(A-B)-C=\left[\begin{array}{cc}-4-1& -4-1\\ -4-1& -4-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-5& -5\\ -5& -5\end{array}\right]$$

이번엔 오른쪽 식인 $A – (B – C)$를 계산해볼게요:

$$B – C = \begin{bmatrix} 5 – 1 & 6 – 1 \\ 7 – 1 & 8 – 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$$

$$A-(B-C)=\left[\begin{array}{cc}1-4& 2-5\\ 3-6& 4-7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3& -3\\ -3& -3\end{array}\right]$$

🔚 비교해 보면,

→ 결과가 다르기 때문에, 행렬의 뺄셈에서는 결합법칙이 성립하지 않습니다.

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📝 정리

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✅ 덧셈은 순서를 바꾸거나 괄호를 바꿔도 OK!

❌ 하지만 뺄셈은 절대 그렇게 하면 안 됩니다.

계산 순서와 괄호 위치를 꼭 정확하게 지켜야 해요!

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4️⃣ 영행렬과 덧셈의 항등원

🔸 영행렬 $O$

모든 성분이 0인 행렬을 영행렬(Zero Matrix) 이라고 합니다.

예를 들어, $2 \times 2$크기의 영행렬은 다음과 같이 생겼습니다:

$$O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

행렬 $A$와 같은 크기의 영행렬 $O$에 대해 다음이 성립합니다:

$$A + O = O + A = A$$

→ 마치 숫자 0처럼, 더해도 값이 그대로예요!

그래서 영행렬은 덧셈에 대한 항등원이라고 부릅니다.

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5️⃣ 덧셈에 대한 행렬의 역원

어떤 행렬 $A$가 있을 때, 그 각 성분에 부호를 반대로 한 행렬을 $-A$라고 합니다.

$$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\Rightarrow -A=\left[\begin{array}{cc}-a_{11}& -a_{12}\\ -a_{21}& -a_{22}\end{array}\right]$$

이때 다음과 같은 관계가 성립합니다:

$$A + (-A) = (-A) + A = O$$

→ 서로 정확히 반대인 행렬끼리 더하면 영행렬이 되죠!

그래서 $-A$는 $A$의 덧셈에 대한 역원이라고 부릅니다.

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6️⃣ 행렬의 실수배 (Scalar Multiplication)

이번엔 행렬에 숫자 하나를 곱해볼게요.

이때 그 숫자를 실수(Scalar) 라고 부르고, 실수 $k$를 행렬 $A$에 곱한 것을 $kA$라고 씁니다.

📘 정의

행렬의 각 성분에 실수 $k$를 곱해 새로운 행렬을 만드는 것을 행렬의 실수배라고 합니다.

$$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\Rightarrow kA=\left[\begin{array}{cc}k{a}_{11}& k{a}_{12}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}\end{array}\right]$$

🔍 예시

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad k = 4$$

$$4A = \begin{bmatrix} 4 \cdot 2 & 4 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -4 \\ 0 & 12 \end{bmatrix}$$

→ 성분 하나하나에 숫자 $k$를 곱하면 됩니다.

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7️⃣ 행렬의 실수배 성질 정리

행렬 $A, B$가 같은 꼴이고, 실수 $k, l$에 대해 다음과 같은 성질들이 성립합니다:

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$$1A=A$$

👉 각 성분에 실수 1을 곱하면 결국 자기 자신이 됩니다.
(곱하지 않은 것과 같죠!)

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$$(-1)A = -A$$

👉 각 성분에 -1을 곱하면 전체 부호가 반대로 바뀌어요.
문제에서는 이걸 활용해서

$A = -(-A)$

처럼 식을 바꾸어 계산하는 경우도 자주 나와요.
이중 부호를 이용해 식을 간단하게 정리할 수 있는 팁이에요!

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$$0A=O$$

👉 어떤 행렬이든 성분마다 0을 곱하면 전부 0이 됩니다.
결과는 영행렬이에요.

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$$kO=O$$

👉 영행렬에 어떤 실수를 곱해도 여전히 모든 성분이 0이라서 결과는 변함없습니다.

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$$(kl)A=k(lA)$$

👉 한꺼번에 실수 $kl$을 곱하든, $l$먼저 곱하고 그 결과에 $k$를 곱하든, 결과는 같습니다.
(순서를 바꿔 곱해도 OK!)

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$$(k + l)A = kA + lA$$

👉 괄호 안에서 먼저 더한 다음 곱하든, 각각 곱해서 더하든 결과는 같아요.

실수의 분배법칙이 행렬에도 똑같이 적용돼요.

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$$k(A + B) = kA + kB$$

👉 행렬끼리 먼저 더하고 나서 실수를 곱하든, 실수를 먼저 각각 곱하고 더하든 결과는 같아요.

이것도 분배법칙이죠!

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📝 Tip:

​이 성질들을 잘 기억해두면, 행렬 문제를 풀 때 훨씬 빠르고 정확하게 계산할 수 있어요!

꼭 기억해 두세요!

시험에서 시간 줄이는 핵심 도구가 됩니다 😉

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✏️ 정리하며

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📌 마무리 꿀팁!

처음엔 행렬이 어렵게 느껴질 수 있어요. 하지만
‘같은 위치끼리 더하고 빼기’, ‘성분마다 숫자 곱하기’
이 기본 원리만 기억하면, 금방 익숙해질 거예요!

다음 시간엔 행렬 곱셈으로 넘어가 볼게요.

여기부터는 조금 더 깊은 계산이 나오지만, 지금까지 배운 내용이 탄탄하면 걱정할 필요 없어요 😉

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