🧮 행렬(Matrix)의 정의 – 영화 매트릭스에서 수학까지!

혹시 영화 매트릭스를 본 적 있나요?

가상 현실 세계와 현실 세계 사이의 경계를 넘나드는 이 영화에서, 주인공 네오는 온 세상이 숫자로 이루어진 ‘행렬(Matrix)’ 속에 살고 있다는 사실을 알게 됩니다.

이 영화에서의 매트릭스(Matrix)는 가상 세계를 구성하는 ‘체계’나 ‘구조’를 의미하지만, 사실 이 단어는 수학에서도 아주 중요한 개념입니다.

수학에서 말하는 행렬(Matrix) 역시 숫자들이 모여 특정한 구조를 이루고 있으며, 현실 세계의 다양한 데이터를 표현하고 계산하는 데 매우 유용하게 쓰입니다.

---

📊 행렬이란?

행렬(Matrix) 은 숫자나 기호 등을 직사각형 모양의 표 형태로 배열한 것입니다.

이 표는 가로줄(행, row) 과 세로줄(열, column) 로 구성되어 있죠.

예를 들어, 아래와 같은 표를 생각해볼 수 있습니다.

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$$

 

이 행렬은 2행 3열로 이루어져 있습니다.

행렬의 크기를 나타낼 때는 행(row)의 수 × 열(column)의 수의 형태로 쓰며, 이를 수식으로는 다음과 같이 표현합니다.

$$2\times 3$$

이처럼 행렬의 크기를 $M \times N$으로 나타낼 때, 말로는 “M by N”, 즉 이 예에서는 “2 by 3”이라고 읽습니다.

⚠️ 여기서

x 기호는 곱셈이 아니라, 단순히 행렬의 크기를 나타내는 표기라는 점에 주의하세요.

이처럼 숫자들을 정해진 규칙에 따라 표 형태로 배열한 것이 바로 수학에서의 행렬입니다.

---

📁 표에서 행렬로! 예시로 살펴보는 행렬의 활용

행렬은 단순히 숫자를 나열한 것처럼 보이지만, 사실은 우리 일상에서도 자주 사용됩니다.

예를 들어, 아래는 어느 반 학생들의 수학, 과학, 영어 점수를 정리한 표입니다.

이 표를 행렬로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\begin{bmatrix} 85 & 90 & 88 \\ 92 & 95 & 91 \end{bmatrix}$$

이처럼 표 형태의 데이터를 행렬로 바꾸면, 다양한 계산(예: 평균, 비교, 합산 등)을 체계적이고 효율적으로 처리할 수 있게 됩니다.

즉, 행렬은 복잡한 정보를 간결하게 정리하고, 빠르게 계산할 수 있도록 도와주는 도구이기 때문에 배우는 것입니다.

---

📐 MxN 형식과 정사각행렬 $$

행렬의 크기를 나타낼 때는 행(row)의 수와 열(column)의 수를 순서대로 써서 표현합니다.

이를 $M \times N$행렬이라고 하며, 말로는 “엠 바이 엔”이라고 읽습니다.

예를 들어,

$$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$$

는 2행 3열, 즉 2×3 행렬입니다.

특히 행과 열의 수가 같은 행렬은 정사각행렬(Square Matrix) 이라고 부릅니다.

예를 들어,

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

은 2×2 정사각행렬입니다.

조금 더 큰 예로,

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$$

​​은 4×4 정사각행렬입니다.

---

🔶NxN 행렬과 N차 정사각행렬

이처럼 행과 열의 수가 같을 때, 그 수를 같은 문자 $n$으로 나타내어 $n \times n$행렬이라고 씁니다.

이때의 행렬은 특별히 “n차 정사각행렬” 이라고 부릅니다.

• 예:

  • $2 \times 2$

     행렬 → 2차 정사각행렬

  • $4 \times 4$

     행렬 → 4차 정사각행렬

  • 일반적으로

    $n\times n$ 행렬 → n차 정사각행렬

---

🔢 행렬의 성분과 표기: $a_{ij}$

각 행렬의 위치에 들어 있는 숫자나 기호 하나하나를 행렬의 성분이라고 부릅니다.

• $a_{ij}$

  ​: 행렬의 i번째 행과 j번째 열에 있는 성분을 의미합니다.

예를 들어,

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

에서, 각 성분은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} a_{11} &= 1 \\ a_{12} &= 2 \\ a_{21} &= 3 \\ a_{22} &= 4 \end{aligned}$$

---

이와 같은 수학적 표기 외에도, 한글로 서술할 때는 다음과 같이 표현하기도 합니다:

• $a_{21}$

  ​: 행렬 A에서 제2행과 제1열이 만나는 위치에 있는 성분

• 또는: 행렬 A의 (2,1) 성분

이런 표현은 문장으로 개념을 이해하고 문제를 푸는 데 도움이 됩니다.

---

🧾 일반적인 행렬 표기

행렬은 보통 아래와 같은 형태로 일반화해서 나타낼 수 있습니다.

$$A = (a_{ij}), \quad (i = x, y, z, \dots,\ j = a, b, c, \dots)$$

이 표기는 “행$i$, 열$j$의 위치에 있는 성분$a_{ij}$로 이루어진 행렬$A$를 의미합니다.

단, $i$와 $j$는 모두 자연수이며, 보통 다음과 같이 나타냅니다:

$$i, j \in \mathbb{N} \quad \text{또는} \quad i = 1, 2, 3, \dots,\ j = 1, 2, 3, \dots$$

이러한 조건을 통해 행렬의 성분$a_{ij}$는 항상 정확한 위치를 가지며,

전체 행렬의 구조를 명확하게 정의할 수 있습니다.

※ 수학에서 i, j 같은 알파벳은 그냥 어떤 수를 나타내는 기호예요. 딱히 복잡하게 생각하지 않아도 괜찮아요!

---

🔁 두 행렬의 비교: 같은 꼴과 동일 행렬

---

✅ 같은 꼴

두 행렬이 같은 행의 수와 같은 열의 수를 가지면, 같은 꼴이라고 합니다.

예:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

A와 B는 둘 다 2행 2열이므로 같은 꼴입니다.

---

✅ 행렬의 동등(Equality)

두 행렬이 같은 꼴이고, 각 위치의 성분이 모두 같을 때, 두 행렬은 같다고 합니다.

기호로는 다음과 같이 씁니다.

$$A=B$$

예:

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\Rightarrow A=B$$

---

🧾 정리

---

🎯 마무리

이제 여러분은 행렬이 무엇인지, 그리고 행렬의 크기, 성분 표기, 두 행렬의 비교 방법까지 이해하게 되었습니다.

영화 매트릭스처럼 복잡한 세상도, 이렇게 수학적으로 하나하나 정리해 나가면 명확한 구조로 볼 수 있답니다!

다음 시간에는 행렬의 덧셈과 뺄셈, 실수배 등 행렬의 연산에 대해 함께 배워보겠습니다 😊

---